《殷墟甲骨文《干攴數(shù)理表》與“黃金分割率”考釋（一）——“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的概念（三）》

張?zhí)旃?/span>

一

殷商甲骨文（約公元前1300年—約公元前1000年）有“天干”、“地攴”、“干攴”等概念，還有《干攴表》，這是殷商文字字形中的相當(dāng)成熟且自成體系的數(shù)學(xué)天文學(xué)。長(zhǎng)江三峽的秭歸新石器時(shí)代遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué)（距今約7000年）是其源頭，它一降生就有比較完整的天體視運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)體系、核心算法、基本數(shù)值，而黃金分割率則是運(yùn)算周年360度與周日24度及其內(nèi)插法與外插法的關(guān)鍵。

圖1

筆者已對(duì)殷商甲骨文中諸多字形的黃金分割率進(jìn)行了初步考釋，如“日”字、“月”字、“明”字、“文”字、“田”、“數(shù)”字、“丁”字、“度”字、“書”字、“筆”字、“版”字、“丁”字、“目”字、“正”字、“中”字、“士”字、“史”字、“事”字、“臣”字等，都與數(shù)學(xué)、天文學(xué)相關(guān)，【1】張?zhí)旃冻跽撘笊碳坠俏闹械?/span>“進(jìn)十?dāng)?shù)位制”——考釋“術(shù)”、“殳”、“攴”、“悤”<干支表>與楚簡(jiǎn)<算表數(shù)理表>、羅素<數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論數(shù)理表>與<書寫筆順圖>之關(guān)系》，載于《書法研究》2021年第2期，第54—74頁(yè)；張?zhí)旃兑笊碳坠俏摹笆俊边\(yùn)算黃金分割率——殷商甲骨文中的數(shù)理邏輯初探》，載于《書畫藝術(shù)》2021年第1期，第30—37頁(yè)）又依據(jù)《甲骨文合集》（37986）收錄的一件完整的牛胛骨上契刻的簡(jiǎn)冊(cè)形制（直行下行，橫列左行）的《干攴表》（圖1）【2】劉翔等編著《商周古文字讀本》，語(yǔ)文出版社，1989年版，第6頁(yè)），制作了一個(gè)《干攴數(shù)理表》（圖2），采用簡(jiǎn)體楷書字形、配以印度—阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)作翻譯性的表述，便于識(shí)讀與運(yùn)算，字理與數(shù)理仍然依據(jù)原字。

殷商甲骨文《〈干攴表〉數(shù)理表》

圖2

這個(gè)《干攴數(shù)理表》為直行六行，橫列十行，組合為一個(gè)直式長(zhǎng)方形，計(jì)有60個(gè)小方格；所有方形的四個(gè)內(nèi)角之和均為360度，包括小方格。這就是說(shuō)，運(yùn)算周天360度基數(shù)是常例，這一點(diǎn)是中國(guó)古代天文學(xué)最為普通的常識(shí)。

第六十個(gè)小方格為“癸亥·10:12”，黃金分割率的極簡(jiǎn)算法是二分法的“分?jǐn)?shù)”，運(yùn)算干攴集合論函數(shù)：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.00075＝0.618   

這種天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的黃金分割率0.618，與現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)的算法不同、性質(zhì)不同，它是什么意思？有什么功用？從秭歸遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué)的源頭看，這個(gè)黃金分割率才能看得比較清楚。研究對(duì)象是太陽(yáng)運(yùn)行、月球運(yùn)行、地球運(yùn)行之關(guān)系，研究方式是視運(yùn)動(dòng)的推步法，是用小方格進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)算，運(yùn)算對(duì)象是干攴集合論函數(shù)，與天體的運(yùn)轉(zhuǎn)相對(duì)應(yīng)，表達(dá)式是“數(shù)形交合”，屬于天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的平面幾何學(xué)。

這里先說(shuō)明幾點(diǎn)要義；

（一）這個(gè)0.618，首先是指“旬”字。殷商“旬”字有的兩種形體，是指天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的推步法路線圖：一種形體“”(《合集》16790，賓組）是表示運(yùn)算春分點(diǎn)太陽(yáng)年；一種形體“”（《合集》 6834，賓組）是表示運(yùn)算冬至點(diǎn)回歸年。其上部斜畫交叉點(diǎn)為0,交叉點(diǎn)前的短線為0.618（或0.61875），是指十日一“旬”的平均一天之白天的長(zhǎng)度，相當(dāng)于平均一日的晝夜長(zhǎng)度之比值為1＝0.618:0.382。

數(shù)學(xué)家華羅庚的“優(yōu)選法”稱為0.618為“平面幾何學(xué)上黃金分割法”，“這是一個(gè)求函數(shù)最大值或最小值的問(wèn)題”，還用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的來(lái)表示它的一種算法，運(yùn)算無(wú)理數(shù)，【3】華羅庚《優(yōu)選法評(píng)話及其補(bǔ)充》，國(guó)防科技出版社，1971年版，第28頁(yè)、第26頁(yè)）這是準(zhǔn)確而合理的，可與華夏先民的天文學(xué)中的古法進(jìn)行交換運(yùn)算。天地運(yùn)行的晝長(zhǎng)夜短的之黃金分割比例，作為函數(shù)的最大值與最小值是理所當(dāng)然的事情。

（二）“旬”字涉及春分點(diǎn)、冬至點(diǎn)，運(yùn)算一“旬”即是勾連36個(gè)旬，即周天360度，四方形、小方格都涉及四個(gè)內(nèi)角之和的360度。

360度即是6個(gè)《干攴表》，或36個(gè)“旬（10日）”，或12個(gè)“月（3個(gè)旬）”，或東南西北四方、春夏秋冬四季，即二十四節(jié)氣；“旬”還牽連周日視運(yùn)動(dòng)24時(shí)辰。也就是說(shuō)，360度即是36個(gè)旬，把一天24小時(shí)與一年二十四節(jié)氣捆在一起，同時(shí)又是以360度為基數(shù)的內(nèi)插、外插的算法，這也就是“旬”字作為推步法路線圖的核心作用。

（三）運(yùn)算周年360度基數(shù)的外插法與內(nèi)插法。外插法是指360度以外的5點(diǎn)幾度；內(nèi)插法涉及運(yùn)算朔望月與閏月。運(yùn)算周日24度基數(shù)與周年360基數(shù)的交接，需要運(yùn)算數(shù)學(xué)的核心“數(shù)位制”，一是運(yùn)算分?jǐn)?shù)位、個(gè)數(shù)位這兩個(gè)數(shù)位的極數(shù)九滿一而進(jìn)十?dāng)?shù)位，二是“十進(jìn)制”與“六十進(jìn)制”的交換運(yùn)算。這些數(shù)位的問(wèn)題非常重要，譬如說(shuō)，天文學(xué)運(yùn)算必然會(huì)涉及分?jǐn)?shù)、或小數(shù)，所以單列一個(gè)數(shù)位“分?jǐn)?shù)位”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)沒(méi)有這個(gè)“分?jǐn)?shù)位”概念，計(jì)算涉及到比0小的數(shù)，則稱作真分?jǐn)?shù)，還有假分?jǐn)?shù)等。這些問(wèn)題需要專門探討。

（四）黃金分割率是指“度”概念本身。殷墟“度”字的一種形體“ ”（《戰(zhàn)后寧滬新獲甲骨集》1.234），從右手、從直角三角形；這個(gè)直角三角形的直角長(zhǎng)邊與直角短邊，經(jīng)過(guò)切割下來(lái)測(cè)算，比值為0.618:0.382，與“旬”字表示的數(shù)值形同，意義一樣。

下文將會(huì)討論，這“度（ ）”字的直角三角形，是《干攴數(shù)理表》序數(shù)第三方格“丙寅·3:3”、第四方格“丁卯·4:4”、第五方格“戊辰·5:5”構(gòu)成的勾股定理，表達(dá)式是書版“?。?/span>）”（《殷墟文字甲編》630），即是一個(gè)長(zhǎng)方形，也就是《干攴數(shù)理表》中的六個(gè)“丁”字之形，經(jīng)過(guò)運(yùn)算合并為長(zhǎng)寬之比值為0.618:0.382，切分這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線即成為這個(gè)直角三角形的“度（ ）”。

殷人天文學(xué)中的勾股定理，同時(shí)又是黃金分割率，這是數(shù)學(xué)史上最早的獨(dú)一無(wú)二的勾股定理。說(shuō)明一下，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的勾股定理的定義中，中國(guó)古代的黃金分割率實(shí)際上是勾股定理的余弦上一個(gè)黃金分割點(diǎn)。

這個(gè)“度”概念本身，表示測(cè)量運(yùn)算的方法，又表示運(yùn)算數(shù)形交合的準(zhǔn)則，自己還有數(shù)值、數(shù)形，是運(yùn)算天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的核心概念?！墩f(shuō)文》釋“度”：“法制也?！倍巫ⅲ骸啊墩撜Z(yǔ)》曰：謹(jǐn)權(quán)量，審法度?！吨杏埂吩唬悍翘熳硬恢贫取！?/span>【4】段玉裁《說(shuō)文解字注》，上海古籍出版社1988年影經(jīng)韻樓藏版，第116頁(yè)。這就是說(shuō)，“度”是天文歷法的核心算法，才可以定性為“法制”、天子的“制度”。

圖3

從平面幾何學(xué)之形看，黃金分割率首先是：（1）運(yùn)算干支集合論函數(shù)三合與函數(shù)六，都有見(jiàn)于數(shù)形交合；（2）繼續(xù)運(yùn)算勾股定理，有正長(zhǎng)方形之書版“丁”，與切分對(duì)角線的直角三角形之“度”。（4）表示天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的算法，即推步法的“旬”字，這是一種及其復(fù)雜的幾何模型，具有拋物線、等高線的特征（圖3）【5】華羅庚《優(yōu)選法評(píng)話及其補(bǔ)充》第31—33頁(yè)。按：這個(gè)圖示是表示黃金分割率涉及的曲線函數(shù)、拋物線函數(shù)。按照優(yōu)選法“雙變數(shù)和等高線”的解釋，這三個(gè)原形應(yīng)該是與干十、攴十二、干攴二十二相關(guān)，并且在方形中運(yùn)算。這實(shí)際上是《墨經(jīng)》中的算法。

“旬”字的內(nèi)涵非常豐富，算法極簡(jiǎn)而解說(shuō)困難。通俗的說(shuō)，《干攴數(shù)理表》中經(jīng)過(guò)運(yùn)算的6個(gè)小方格組合成一個(gè)直式長(zhǎng)方形，這是黃金分割比例的載體；而切分其對(duì)角線，則為直角三角形之“度”。這個(gè)直式長(zhǎng)方形上面書契著這推步法路線圖，二種字形表示的路線圖的指向，分別是春分點(diǎn)與冬至點(diǎn)，0.618表示路線開(kāi)口處的短線的長(zhǎng)度，可運(yùn)算周年視運(yùn)動(dòng)的外插法。這個(gè)直式長(zhǎng)方形作為序數(shù)六，在“旬”字曲線中心端點(diǎn)處，可以運(yùn)算朔望月、閏月與36個(gè)“旬”（360度）的關(guān)系，涉及內(nèi)插法與外插法。

（五）我們現(xiàn)在使用的“度”概念，作為科學(xué)的術(shù)語(yǔ)則來(lái)自西學(xué)。英文degree，法文degré，德文Grad，來(lái)源于拉丁文degradare，原是“步”、“級(jí)”的意思。【6】梁宗巨《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》，遼林人民出版社，1980年版，第29頁(yè)）這種抽象性的“度”，應(yīng)用在數(shù)學(xué)中、天文學(xué)中都有各自的基本定義，與中國(guó)古代天文學(xué)的“度”字完全不同。

中國(guó)古代的天文學(xué)研究、數(shù)學(xué)研究，一直依據(jù)西式的思維方式與數(shù)學(xué)計(jì)算，包括引進(jìn)的這個(gè)“度”概念，對(duì)于中國(guó)的古“度”完全不知，認(rèn)知“旬”字是表示十日，但不知“旬”字還表示的推步法路線圖與黃金分割率。

所以，盡管百年來(lái)學(xué)術(shù)研究的成果豐碩，令世人舉目，但未見(jiàn)天文學(xué)的基本數(shù)值，或者說(shuō)是一種見(jiàn)不到年、月、日、時(shí)的天文學(xué)。不斷有新石器時(shí)代的考古資料出土，天文學(xué)、數(shù)學(xué)上的釋讀非常困難，古今隔膜的固化嚴(yán)重。  

總之，“旬”字與36個(gè)“旬”（360度）掛鉤，又與1個(gè)黃金分割率掛鉤（1度，第37個(gè)旬）【7】董作賓、陳夢(mèng)家、島邦男、許建雄、常玉芝等對(duì)于殷墟卜文中周祭制度的研究，初步形成的共識(shí)是有三十六旬和三十七旬兩種周期，并推論三十六旬與太陽(yáng)年360天相關(guān)，增加到三十七旬，有的認(rèn)為是365天多，有的認(rèn)為在360日—370日中間，這已經(jīng)觸摸到中國(guó)古度的實(shí)質(zhì)，但沒(méi)有數(shù)學(xué)的理念與算法。其實(shí)，第37旬是運(yùn)算外插法，誠(chéng)可謂最為關(guān)鍵的一次十進(jìn)制與六十進(jìn)制的交換運(yùn)算，唯獨(dú)這一“旬”的十日變?yōu)樯儆诹斩嘤谖迦罩當(dāng)?shù)，就是365天多至366天少之間。這個(gè)問(wèn)題另文探討），牽連天文學(xué)的年、月、日、時(shí)的基本數(shù)值，內(nèi)涵極其豐富，它是數(shù)學(xué)天文學(xué)的命脈之所在。黃金分割率的算法是天文學(xué)中的“優(yōu)選法”。 再?gòu)?qiáng)調(diào)一下，數(shù)學(xué)天文學(xué)表達(dá)式與算法的方形、小方格均關(guān)聯(lián)360度（36個(gè)旬），而小方格是運(yùn)算的基本方式。

     現(xiàn)在所謂的“中國(guó)古度”，是漢代“周天度”，或“歲長(zhǎng)天”，稱為“四分歷”，這個(gè)數(shù)值未見(jiàn)說(shuō)明算法。【8】陳遵媯《中國(guó)天文學(xué)史》，上海人民出版社，2016年版，第146頁(yè)）這與新石器時(shí)代的真正古度有天壤之別。這個(gè)“°”是讓我們的研究者非常尷尬的一個(gè)數(shù)，

【9】〔英〕李約瑟《文明的滴定》認(rèn)為：“中國(guó)沒(méi)有把刻度環(huán)分成360°，而是根據(jù)一年的日數(shù)分成°。初看起來(lái)這似乎很笨拙，但實(shí)際上確有好處。商務(wù)印書館，2018年版，第67頁(yè)。此外，江曉原、紐衛(wèi)星《中國(guó)天學(xué)史》引述日本飯島忠夫1925年發(fā)表的《支那古代史論》認(rèn)為，中國(guó)四分歷取回歸年長(zhǎng)度為日，是源自古希臘歐多克斯。上海人民出版社，2005年版，第14頁(yè)）關(guān)鍵是丟失了自己的360度與度本身，致使°前后失據(jù)，沒(méi)有根基。

（二）用黃金分割率運(yùn)算周年視運(yùn)動(dòng)的春分點(diǎn)太陽(yáng)年的長(zhǎng)度，極簡(jiǎn)的算法是：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.5＝0.11875

e.0.118×36＝4.275

F.4.275＋360＝364.275

G.364.275＋1＝365.275

這個(gè)春分點(diǎn)太陽(yáng)年長(zhǎng)度365.275天，是恒定的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值，不受視運(yùn)動(dòng)推步法的具體區(qū)域、視域、氣候、物候等特點(diǎn)的影響。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)天文學(xué)一降生就有這五個(gè)數(shù)值：一個(gè)是干支集合論三合函數(shù)，一個(gè)是周年視運(yùn)動(dòng)基數(shù)360度，一個(gè)是春分點(diǎn)太陽(yáng)年長(zhǎng)度365.275天，一個(gè)是“旬”字的黃金分割率0.618；一個(gè)是周日視運(yùn)動(dòng)的24時(shí)辰。冬至點(diǎn)回歸年則不同，必須按照推步法的具體觀測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行交換運(yùn)算。數(shù)學(xué)天文學(xué)的理論模型，歷法天文學(xué)是數(shù)學(xué)天文學(xué)的具體應(yīng)用。

殷商“癸”字有三種形體：“”（《鐵云藏龜》112.3）形表示天體運(yùn)轉(zhuǎn)的坐標(biāo)，東西向?qū)蔷€指向春分點(diǎn)與秋分點(diǎn)；東北向?qū)蔷€指向夏至點(diǎn)與冬至點(diǎn)；“”（《殷契佚存》545）形也表示這種坐標(biāo)，但增加了天體周轉(zhuǎn)以外的短線，有運(yùn)算外插法的意思。 晚商《 癸?卣》銘文“癸”（，《集成》4839）形表示天體運(yùn)轉(zhuǎn)的南北極，兩極均有天體周轉(zhuǎn)以外的短線，也有外插法的意思。這與“旬”字所指是對(duì)應(yīng)的，顯示出周天360度與外插法的算法。

西方天文學(xué)史不同，起源很早而計(jì)算較晚，因?yàn)槠鋽?shù)學(xué)與天文學(xué)分作兩個(gè)學(xué)科，例如，古巴比倫的可以稱作是“計(jì)算天文學(xué)”的起點(diǎn)，大約在公元前500年，真正使用鋸齒形函數(shù)計(jì)算的天文學(xué)是始于公元前132年，而數(shù)學(xué)在公元前2000左右就已經(jīng)有了成熟的十進(jìn)制與六十進(jìn)制。簡(jiǎn)單的說(shuō)，數(shù)學(xué)與計(jì)算天文學(xué)相距1500年。這與西方科學(xué)起源的多頭線索相關(guān)。【10】〔美〕戴維·林德伯格《西方科學(xué)的起源——公元前1450年之前宗教、哲學(xué)、體制背景下的歐洲科學(xué)傳統(tǒng)》，張卜天譯，商務(wù)印書館，2019年版，第20—21頁(yè)、第24—25頁(yè)。按：巴比倫占卜天象與天文學(xué)混合在一起，涉及諸神與地界事物的關(guān)系非常廣泛，在計(jì)算天文學(xué)之前已有數(shù)個(gè)世紀(jì)，甚至?xí)r間更長(zhǎng)。

華夏先民的想法很實(shí)在，沒(méi)有數(shù)值與算法，就談不上有天文學(xué)。年、月、日、時(shí)都不知道，日出而作、日落而息干什么？【11】江曉原等《中國(guó)天學(xué)史》依據(jù)殷墟卜辭的天學(xué)研究成果，參照中國(guó)天文學(xué)史整理研究小組編著《中國(guó)天文學(xué)史》，歸納出殷代天文學(xué)的八個(gè)要點(diǎn)：（1）陰陽(yáng)合歷。（2）年有平閏、月有大小。（3）年終置潤(rùn)。（4）尚無(wú)四季的劃分，只有春、秋。（5）可能已有測(cè)定分、至的知識(shí)。（6）歲首已基本固定。（7）以新月為一月之始。（8）年、月之始及閏月的設(shè)置都是根據(jù)實(shí)際觀測(cè)決定的，尚未能做到預(yù)先推算。上海人民出版社，2005年版，第11頁(yè)。按：這種關(guān)于學(xué)術(shù)研究進(jìn)展的歸納比較客觀、準(zhǔn)確、公允，相當(dāng)于認(rèn)為殷商時(shí)代270余年的天文學(xué)，沒(méi)有具體數(shù)值與算法。馮時(shí)《百年來(lái)甲骨文天文歷法研究》認(rèn)為：“沒(méi)有古人對(duì)時(shí)間的掌握，便不會(huì)有農(nóng)業(yè)文明的出現(xiàn)”，又將中國(guó)古代天文學(xué)的起始定于河南舞陽(yáng)賈湖和安徽蚌埠雙墩的新石器時(shí)代遺存，這種理念是合理的，然而在百年來(lái)殷商甲骨文天文歷法研究的總結(jié)中，未見(jiàn)到殷人的年、月、日、時(shí)的一個(gè)數(shù)值。中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2011年版，第344—351頁(yè)。按；百年來(lái)研究者非常關(guān)注天文歷法的數(shù)值問(wèn)題，也孜孜以求，但毫無(wú)殷商“數(shù)學(xué)”的理念與知識(shí)，天文學(xué)的數(shù)值就沒(méi)有著落）曲安京《中國(guó)數(shù)理天文學(xué)》認(rèn)為，春秋以前“還沒(méi)有科學(xué)的歷法出現(xiàn)”，“由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)理天文學(xué)采用的主要是數(shù)值方法，與西方傳統(tǒng)的幾何模型很不相同，在大多數(shù)情形下，從形式上根本看不到兩者的任何相似之處?！?/span>【12】科學(xué)出版社，2008年版，第24—25頁(yè)、第22頁(yè)）這種論斷直接了當(dāng)，就是用西式的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)看，中國(guó)傳統(tǒng)是“數(shù)值方法”，西方傳統(tǒng)是幾何模型，這代表著現(xiàn)在學(xué)界的主流看法，數(shù)學(xué)思維是合理的，但中國(guó)遠(yuǎn)古的農(nóng)業(yè)文明的講述則遇到麻煩，什么時(shí)間春種秋收呢？

還有一個(gè)硬核的數(shù)值可能被忽略了，古希臘天文學(xué)的地心說(shuō)占據(jù)西方1300多年，缺失地球繞自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)的周日24度（時(shí)辰）的數(shù)值與算法，用這種西式的算法來(lái)對(duì)待中國(guó)古代天文學(xué)的數(shù)值，可能就是一片空白。

中國(guó)古代的數(shù)學(xué)天文學(xué)，首先是“幾何模型”，不只是數(shù)學(xué)工具，而是天文學(xué)本身，同時(shí)也是“數(shù)值方法”，有完整的年、月、日、時(shí)的基本數(shù)值，這可以與現(xiàn)代科學(xué)的數(shù)學(xué)方法對(duì)接、交換。為什么研究者視而不見(jiàn)呢？意大利畫家達(dá)·芬奇的黃金分割比例的形像，我們耳熟能詳；中國(guó)殷商甲骨文的“旬”字的黃金分割率之螺旋線，我們則看不懂？這首先是科學(xué)史研究的一個(gè)“可公度性”問(wèn)題，這兩種數(shù)學(xué)思維的“度”應(yīng)該有“公度”。中國(guó)古代的天文學(xué)研究、數(shù)學(xué)研究，說(shuō)不說(shuō)天體運(yùn)轉(zhuǎn)的“度”、數(shù)量計(jì)算的“度”？是說(shuō)引進(jìn)的西式的“度”，或者中國(guó)古法的“度”，亦或是對(duì)接、交換的度？這個(gè)問(wèn)題根本無(wú)法繞開(kāi)走。（待續(xù)）

 2022年1月12日于武昌